104. 二叉树的最大深度

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题目描述

给定一个二叉树 root ，返回其最大深度。

二叉树的 最大深度 是指从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

核心思考：分治与递归

求解二叉树的最大深度是一个经典的递归问题。我们可以将其拆解为：
根节点的最大深度 = max(左子树最大深度, 右子树最大深度) + 1

1. 递归基准情形（Base Case）：如果当前节点为空（None），说明已经到达了叶子节点的下方，此时深度为 0。
2. 递推逻辑：
   • 递归计算左子树的最大深度。
   • 递归计算右子树的最大深度。
   • 取两者的最大值，加上根节点本身的贡献（1），即可得到当前子树的总深度。

这种“自底向上”的思考方式体现了**分治（Divide and Conquer）**的思想：将大树的问题转化成子树的小问题，最后合并结果。

解题思路 (Python)

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right

class Solution:
    def maxDepth(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        # 基准情形：空节点深度为 0
        if root is None:
            return 0
        
        # 递归计算左右子树深度
        left_max = self.maxDepth(root.left)
        right_max = self.maxDepth(root.right)
        
        # 当前深度 = 左右子树中的最大深度 + 1 (当前节点)
        return max(left_max, right_max) + 1

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N)$，其中 $N$ 为二叉树的节点个数。我们需要遍历并访问每一个节点来确定其深度。
• 空间复杂度：$O(H)$，其中 $H$ 是树的高度。递归调用会消耗栈空间，在最坏情况下（树呈链状），空间复杂度为 $O(N)$；在平衡二叉树的情况下，空间复杂度为 $O(\log N)$。

ACM 模式

本节提供 ACM 竞赛风格的完整可运行代码，包含输入输出处理。

输入格式：

val1 val2 val3 ... valN

输入一行整数数组表示二叉树的层序遍历，None 表示空节点。

完整代码：

import sys

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def build_tree(arr):
    if not arr or arr[0] is None:
        return None
    root = TreeNode(arr[0])
    queue = [root]
    i = 1
    while queue and i < len(arr):
        node = queue.pop(0)
        if arr[i] is not None:
            node.left = TreeNode(arr[i])
            queue.append(node.left)
        i += 1
        if i < len(arr) and arr[i] is not None:
            node.right = TreeNode(arr[i])
            queue.append(node.right)
        i += 1
    return root

def tree_to_list(root):
    if not root:
        return []
    result = []
    queue = [root]
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        if node:
            result.append(node.val)
            queue.append(node.left)
            queue.append(node.right)
        else:
            result.append(None)
    while result and result[-1] is None:
        result.pop()
    return result

class Solution:
    def maxDepth(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
    # 基准情形：空节点深度为 0
    if root is None:
        return 0

    # 递归计算左右子树深度
    left_max = self.maxDepth(root.left)
    right_max = self.maxDepth(root.right)

    # 当前深度 = 左右子树中的最大深度 + 1 (当前节点)
    return max(left_max, right_max) + 1

def main():
    arr = sys.stdin.read().strip().split()
    tree_arr = [None if v == 'None' else int(v) for v in arr]
    root = build_tree(tree_arr)

    sol = Solution()
    result = sol.maxDepth(root)
    print(result)

if __name__ == "__main__":
    main()