543. 二叉树的直径

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题目描述

给你一棵二叉树的根节点，返回该树的 直径 。

二叉树的 直径 是指树中任意两个节点之间最长路径的 长度 。这条路径可能经过也可能不经过根节点 root 。

两节点之间路径的 长度 由它们之间边的数目表示。

核心思考：深度与直径的转化

二叉树的直径问题可以转化为树的高度（深度）问题。

对于任意一个节点，经过它的最长路径长度 = 左子树的最大深度 + 右子树的最大深度。

1. 递归定义：我们定义一个递归函数 dfs(node)，它的作用是计算以 node 为根的子树的高度（即从该节点到叶子节点的最长路径上的节点数）。
2. 全局最优解：在递归过程中，由于最长路径不一定经过根节点，我们需要维护一个全局变量（或使用 nonlocal 关键字）来记录在遍历每一个节点时所产生的局部直径最大值。
3. 状态转移：
   • 局部直径 = dfs(node.left) + dfs(node.right)。
   • 函数返回给上层的深度 = max(dfs(node.left), dfs(node.right)) + 1。

解题思路 (Python)

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right

class Solution:
    def diameterOfBinaryTree(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        ans = 0
        
        def dfs(node):
            if node is None:
                return 0 
            
            # 递归获取左右子树的高度
            l_depth = dfs(node.left)
            r_depth = dfs(node.right)
            
            # 更新全局最大直径：左深度 + 右深度
            nonlocal ans
            ans = max(ans, l_depth + r_depth) 
            
            # 返回当前节点提供给上层的高度
            return max(l_depth, r_depth) + 1 
        
        dfs(root)
        return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N)$，其其中 $N$ 是二叉树的节点数。每个节点仅被访问一次。
• 空间复杂度：$O(H)$，其中 $H$ 是树的高度。这是由于递归调用栈的深度决定的。最坏情况下（树退化为链）为 $O(N)$，最好情况下（平衡二叉树）为 $O(\log N)$。